Calcul littéral


 


    Le calcul littéral, pour résumer grossièrement, c’est généraliser un calcul, raisonner avec n’importe quelle valeur, de manière à obtenir un résultat général. Pour répondre aux interrogations des élèves, il faut tenter de montrer à quoi ça sert , mais ça n’explique pas en soi l’utilisation de lettres : on pourrait (on pouvait) d’ailleurs s’en passer ! Pour s’en persuader, il suffit par exemple de considérer la célèbre formulation du théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.
    L’utilisation des lettres, tout comme les signes opératoires, le signe égal, ne sert qu’à décrire plus rapidement un calcul, gagner du temps (François Viète aurait-il donc inventé le langage SMS ?), et il faut aussi l’expliquer. C’est ce que j’ai essayé de montré dans l’activité suivante, de manière un peu exagérée. A voir la perplexité de certains élèves, il semble que la formule choisie (le volume d’un tonneau) soit un peu trop compliquée. Sans doute faudrait-il trouver un exemple plus simple, et surtout faire des exercices d’application où l’on passe d’un langage à l’autre (il y en a déjà dans certains manuels).



Activité : utiliser des lettres
Pour calculer le volume d'un tonneau, Maxime et Romane expliquent
chacun à leur manière comment ils procèdent :

Maxime : "
Je prends le double du plus grand diamètre et j'ajoute
le diamètre d'un fond ; je divise la somme obtenue par six puis
 j'élève au carré ; je multiplie le résultat par la hauteur puis par pi.
"

Romane : "
j'utilise la formule :  p × h × (( 2 D + d ) / 6)² "

a) Quelles explications vous paraissent les plus claires ? Pourquoi ?
b) Calculez le volume d'une barrique de hauteur  8 dm, de grand
diamètre 6,5 dm et de petit diamètre 5 dm.      


Une expression littérale (avec des lettres) permet de décrire plus
rapidement et plus clairement un calcul.


Exercice
a) Expliquer pourquoi soustraire 19 revient à soustraire 20 et ajouter 1.
b) Calculer de tête :          75 - 19                  123 - 19               457 - 19
c) Calculer de tête:           328 - 97                545 - 97               1040 - 97 .

      A la première question on attend l'explication suivante :      -19 = - (20 - 1) = -20 +1    .
Voici ce qui me parait être une utilisation concrète de la règle sur l'opposé d'une somme.



Exercice

Réduire:       3a + 2a =                                     -3b + 2b =                               -4x -5x =   
                       3a × 2a =                                      -3b × 2b =                              -4x × (-5x) =
                   7y - y =                                        6t² + 3t² =                              2n + 7n - 3n =
                   7y
×  y =                                       6t² × 3t² =                              2n × 7n × 3n =
                                                                                                                       2n
× 7n -3n =
                    A = 3 
× 2x + 5 × 3x 
                   B = 8
× 3x -7 × 2x
                   C = x² 
× 6 -2x × 4x .

     Bien souvent, pour traiter ce chapitre, les manuels commencent par tenter d’expliquer ce qu’est un calcul littéral et quelle est son utilité (ce qui est difficile car à ce moment-là on ne dispose que de peu d’outils). Ensuite on traite la suppression de parenthèses devant une somme et la réduction; vient après la distributivité; enfin, dans un bouquet final on mélange tout.
       La distributivité est bien sûr un point très important. Les élèves l’ont déjà vue en cinquième, mais bien souvent en début d’année, et ne l’ont guère réutilisée depuis. 
Ça n’est pas vraiment clair pour eux, et cela se complique avec ce que certains appellent la double distributivité.
     Dans un premier temps, ils doivent donc apprendre à écrire l’expression développée : on multiplie ça avec ça, puis ça avec ça... Mais une fois qu’ils ont compris cette étape, ils ne sont pas tirés d’affaire: ils se retrouvent avec des fois, des plus, des moins, des lettres, des nombres... Il faut réduire tout cela, le réflexe de faire en priorité les multiplications n’est pas encore bien en place, et là on obtient un peu n’importe quoi.
       Voici donc un exercice de réduction à faire
avant d’aborder la distributivité : on insiste bien sur la différence entre somme et produit, et on rappelle que la multiplication est toujours prioritaire, y compris dans un calcul avec des lettres. Une fois ces points bien clarifiés, la difficulté de la distributivité se résume à la première étape, celle du développement: après on se retrouve en terrain connu et on devrait savoir faire.


Exercice:   Trouver des triplets pythagoriciens  à l’aide du tableur (document Word, 33 Ko)

         
Cet exercice classique est intéressant à plusieurs titres: il montre l’intérêt d’une part du calcul littéral, d’autre part du tableur pour appliquer une formule un grand nombre de fois; de plus il présente une méthode pour trouver facilement trois longueurs "simples" pour les côtés d’un triangle, telles que ce triangle soit rectangle. (on ne manquera pas au passage de déplorer le manque d’imagination des nombreux énoncés qui abusent du triplet 3-4-5) 
    Malgré tout il faut bien avouer que cet exercice n’est pas toujours bien compris, d’abord parce que le calcul littéral est encore quelque chose de très nouveau pour les élèves en milieu de 4ème; ensuite parce que la manipulation du tableur n’est pas non plus encore bien maîtrisée. Pour ma part, il est vrai que je n’utilise pas encore énormément le tableur. Je n’y ai recours que lorsque je suis convaincu de son utilité. Mais j’y viens, lentement mais sûrement.



Devoir à la maison
Avec des allumettes, on construit des réseaux de carrés comme ci-dessous.



a) Combien faut-il d'allumettes pour construire un réseau de taille 1 ? de taille 2 ? de taille 3 ? de taille 4 ?
b) Trouver une formule permettant de calculer le nombre d'allumettes nécessaires à la construction d'un réseau de taille n. Expliquer votre démarche.
Indications : combien y a-t-il de lignes ? d'allumettes par ligne ? de colonnes ? d'allumettes par colonne ? Pensez à vérifier que votre formule marche pour des réseaux de taille 1, 2, 3 ou 4.
c) A l'aide de la formule trouvée à la question précédente, calculer le nombre d'allumettes nécessaires pour construire un réseau de taille 15.

    Dans les manuels, un exercice qui revient souvent consiste à considérer un réseau de dalles carrées: un carré de côté n est entouré d’une rangée de dalles d’une autre couleur. On demande de déterminer en fonction de n le nombre de dalles sur le pourtour. Exercice intéressant, mais l’an passé, mon collègue l’ayant déjà donné à ses élèves - et corrigé -, il a fallu en trouver un autre. Voici donc une variation sur le même thème, elle-même inspirée d’une activité dans un manuel et de souvenirs d’enfance.


Exercice
Développer, réduire, ordonner :   2 + ( x - 5 )                               ( 3 x - 5 ) + ( 2 x + 4 )
                                              2  - ( x - 5 )                                ( 3 x - 5 ) -  ( 2 x + 4 )

                                              2 ( x - 5 )                                   ( 3 x - 5 )( 2 x + 4 )
                                                                                                 3 x - 5( 2 x + 4 )


     Exercice récapitulatif, à faire en fin de chapitre, qui permet de bien différencier des cas de figures qui se ressemblent.



 


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